Ang isang equation ay ang pagkakapantay-pantay ng matematika na mayroon sa pagitan ng dalawang mga expression, binubuo ito ng iba't ibang mga elemento na parehong kilala (data) at hindi alam (hindi alam), na nauugnay sa pamamagitan ng mga pagpapatakbo ng matematika na bilang. Ang data sa pangkalahatan ay kinakatawan ng mga coefficients, variable, numero at pare-pareho, habang ang mga hindi kilalang ipinahiwatig ng mga titik at kinakatawan ang halagang nais mong mabasa sa pamamagitan ng equation. Malawakang ginagamit ang mga equation, higit sa lahat upang maipakita ang pinaka-eksaktong anyo ng mga batas sa matematika o pisikal, na nagpapahayag ng mga variable.
Ano ang equation
Talaan ng mga Nilalaman
Ang termino ay nagmula sa Latin na "aequatio", na ang kahulugan ay tumutukoy sa pagpapantay. Ang ehersisyo na ito ay isang pagkakapantay-pantay sa matematika na mayroon sa pagitan ng dalawang expression, ang mga ito ay kilala bilang mga miyembro ngunit sila ay pinaghiwalay ng isang tanda (=), sa mga ito, may mga kilalang elemento at ilang data o hindi alam na nauugnay sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng matematika. Ang mga halaga ay bilang, palagiang, o coefficients, kahit na maaari rin silang maging mga bagay tulad ng mga vector o variable.
Ang mga elemento o hindi alam ay itinatag sa pamamagitan ng iba pang mga equation, ngunit may isang pamamaraan sa paglutas ng equation. Ang isang sistema ng mga equation ay pinag-aaralan at nalulutas ng iba't ibang mga pamamaraan, sa katunayan, pareho ang nangyayari sa equation ng paligid.
Kasaysayan ng mga equation
Ang sibilisasyong Egypt ay isa sa mga unang gumamit ng datos ng matematika, sapagkat noong ika-16 na siglo ay inilapat na nila ang sistemang ito, upang malutas ang mga problemang nauugnay sa pamamahagi ng pagkain, bagaman hindi sila tinawag na mga equation, masasabing ito ay katumbas ng kasalukuyang oras.
May kaalaman din ang mga Tsino sa mga naturang solusyon sa matematika, sapagkat sa simula ng panahon ay nagsulat sila ng isang libro kung saan iminungkahi ang iba`t ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga pagsasanay sa pangalawa at unang baitang.
Sa panahon ng Middle Ages, ang mga hindi kilalang matematika ay nagkaroon ng malaking tulong, dahil ginamit ito bilang mga hamon sa publiko sa mga dalubhasang dalub-agbilang noong panahong iyon. Sa ikalabing-anim na siglo, dalawang mahalagang matematika ang gumawa ng pagtuklas ng paggamit ng mga haka-haka na numero upang malutas ang data ng pangalawa, pangatlo at pang-apat na degree na data.
Gayundin sa siglo na iyon ay pinasikat ni Rene Descartes ang notasyong pang-agham, bilang karagdagan dito, sa yugto ng makasaysayang ito ang isa sa pinakatanyag na mga teorya sa matematika ay ginawang publiko din na "huling teorama ng Fermat".
Sa panahon ng ikalabimpito siglo ang mga siyentipiko na sina Gottfried Leibniz at Isaac Newton ay ginawang posible ang solusyon ng mga hindi kilalang pagkilala, na nagbunga ng isang serye ng mga pagtuklas na naganap sa panahong iyon patungkol sa mga partikular na equation na ito.
Marami ang mga pagsisikap na ginawa ng mga matematiko hanggang sa simula ng ika-19 na siglo upang makahanap ng solusyon sa mga equation ng ikalimang degree, ngunit lahat ay nabigo na mga pagtatangka, hanggang sa natuklasan ni Niels Henrik Abel na walang pangkalahatang pormula upang makalkula ang ikalimang degree, sa panahong ito ang physics ay gumamit ng data ng kaugalian sa integral at nagmula sa hindi alam, na nagbunga ng physics ng matematika.
Noong ika-20 siglo, ang unang mga pagkakapantay- pantay na equation na may mga kumplikadong pag-andar na ginamit sa mga mekanika ng kabuuan ay binubuo, na may malawak na larangan ng pag-aaral sa teoryang pang-ekonomiya.
Ang sanggunian ay dapat ding gawin sa equation ng Dirac, na bahagi ng mga pag-aaral ng mga relativistic na alon sa mga mekanismo ng kabuuan at binubuo noong 1928 ni Paul Dirac. Ang equation ng Dirac ay ganap na naaayon sa espesyal na teorya ng relatividad.
Mga katangiang equation
Ang mga pagsasanay na ito ay mayroon ding serye ng mga tukoy na katangian o elemento, kasama ng mga ito, ang mga miyembro, termino, hindi alam at solusyon. Ang mga miyembro ay ang mga expression na nasa tabi mismo ng katumbas na mga palatandaan. Ang mga termino ay ang mga pagdaragdag na bahagi ng mga kasapi, gayun din, ang hindi alam ay tumutukoy sa mga titik at sa wakas, ang mga solusyon, na tumutukoy sa mga halagang nagpapatunay sa pagkakapantay-pantay.
Mga uri ng mga equation
Mayroong iba't ibang mga uri ng pagsasanay sa matematika na itinuro sa iba't ibang antas ng edukasyon, halimbawa, ang equation ng linya, equation ng kemikal, pagbabalanse ng mga equation o iba't ibang mga sistema ng mga equation, gayunpaman, mahalagang banggitin na ang mga ito ay inuri sa ang data ng algebraic, na kung saan ay maaaring maging una, pangalawa at pangatlong degree, diophantine at makatuwiran.
Mga equation ng algebraic
Ito ay isang pagpapahalaga na ipinahayag sa anyo ng P (x) = 0 kung saan ang P (x) ay isang polynomial na hindi null ngunit hindi pare-pareho at mayroong mga coefficients ng integer na may degree n ≥ 2.
- Linear: ito ay isang pagkakapantay-pantay na mayroong isa o higit pang mga variable sa unang lakas at hindi nangangailangan ng mga produkto sa pagitan ng mga variable na ito.
- Quadratic: mayroon itong ekspresyon ng ax² + bx + c = 0 pagkakaroon ng ≠ 0. dito ang variable ay x, ya, b at c ay pare-pareho, ang quadratic coefficient ay isang, na naiiba mula sa 0. Ang linear coefficient ay b at ang term na malaya ay c.
Ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagiging isang polynomial na binibigyang kahulugan sa pamamagitan ng equation ng parabola.
- Cubic: ang data ng kubiko na may isang hindi kilalang ay makikita sa pangatlong degree na may a, b, c at d (a) 0), na ang mga numero ay bahagi ng isang katawan ng tunay o kumplikadong mga numero, subalit, tumutukoy din sila sa mga makatuwirang digit.
- Biquadratic: Ito ay isang solong variable, pang-apat na degree na ekspresyon ng algebraic na mayroon lamang tatlong mga termino: isa sa degree 4, isa sa degree 2 at isang independiyenteng term. Ang isang halimbawa ng isang ehersisyo sa biquad ay ang sumusunod: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
Natanggap nito ang pangalang ito dahil sinusubukan nitong ipahayag kung ano ang magiging pangunahing konsepto upang ilarawan ang isang diskarte sa paglutas: nangangahulugang bi-square na: "dalawang beses na quadratic." Kung iniisip mo ito, ang term na x4 ay maaaring ipahayag bilang (x 2) naitaas sa 2, na nagbibigay sa amin ng x4. Sa madaling salita, isipin na ang nangungunang kataga ng hindi alam ay 3 × 4. Katulad nito, tamang sabihin na ang term na ito ay maaari ding isulat bilang 3 (x2) 2.
- Diopanthines: ito ay isang ehersisyo sa algebraic na mayroong dalawa o higit pang mga hindi alam, bilang karagdagan, ang mga koepisyent nito ay sumasaklaw sa lahat ng mga integer na dapat hanapin ang mga natural o integer na solusyon. Ginagawa silang bahagi ng buong pangkat ng bilang.
Ang mga pagsasanay na ito ay ipinakita bilang palakol + by = c na may pag-aari ng isang sapat at kinakailangang kondisyon upang ang palakol + by = c na may a, b, c na kabilang sa mga integer, ay may solusyon.
- Rational: tinukoy ang mga ito bilang ang kabuuan ng mga polynomial, pareho sa kung saan ang denominator ay may hindi bababa sa 1 degree. Partikular na nagsasalita, dapat mayroong kahit isang variable sa denominator. Ang pangkalahatang form na kumakatawan sa isang makatuwiran na pagpapaandar ay:
Kung saan ang p (x) at q (x) ay mga polynomial at q (x) ≠ 0.
- Mga Katumbas: ito ay isang ehersisyo na may pagkakapantay-pantay sa matematika sa pagitan ng dalawang pagpapahayag ng matematika, na tinatawag na mga kasapi, kung saan lumilitaw ang mga kilalang elemento o data, at hindi kilalang mga elemento o hindi alam, na nauugnay sa pagpapatakbo ng matematika. Ang mga halaga ng equation ay dapat na binubuo ng mga numero, coefficients, o pare-pareho; tulad ng mga variable o kumplikadong bagay tulad ng mga vector o pag-andar, ang mga bagong elemento ay dapat na binubuo ng iba pang mga equation ng isang system o ilang iba pang pamamaraan sa paglutas ng pag-andar.
Transendente na mga equation
Ito ay hindi hihigit sa isang pagkakapantay-pantay sa pagitan ng dalawang expression ng matematika na mayroong isa o higit pang mga hindi kilalang nauugnay sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng matematika, na eksklusibo sa algebraic at may isang solusyon na hindi maibigay gamit ang tiyak o wastong mga tool ng algebra. Ang isang ehersisyo H (x) = j (x) ay tinatawag na transendente kapag ang isa sa mga pagpapaandar na H (x) o j (x) ay hindi algebraic.
Mga magkakaibang equation
Sa kanila ang mga pagpapaandar ay nauugnay sa bawat isa sa kanilang mga derivatives. Ang mga pagpapaandar ay may posibilidad na kumatawan sa ilang mga pisikal na dami, sa kabilang banda, ang mga derivatives ay kumakatawan sa mga rate ng pagbabago, habang ang equation ay tumutukoy sa ugnayan sa pagitan nila. Ang huli ay napakahalaga sa maraming iba pang mga disiplina, kabilang ang kimika, biology, pisika, engineering at ekonomiya.
Mga integral na equation
Ang hindi alam sa mga pagpapaandar ng data na ito ay direktang lilitaw sa mahalagang bahagi. Ang integral at kaugalian na pagsasanay ay mayroong maraming ugnayan, kahit na ang ilang mga problema sa matematika ay maaaring mabuo sa alinman sa dalawang ito, isang halimbawa nito ay ang Maxwell viscoelasticity model.
Mga functional equation
Ito ay ipinahayag sa pamamagitan ng kumbinasyon ng mga hindi kilalang pag-andar at mga independiyenteng variable, bilang karagdagan, ang parehong halaga at ekspresyon nito ay kailangang malutas.
Mga equation ng estado
Ito ang mga nabubuo na pagsasanay para sa mga hydrostatic system na naglalarawan sa pangkalahatang estado ng pagsasama-sama o pagtaas ng bagay, bilang karagdagan, ito ay kumakatawan sa isang ugnayan sa pagitan ng dami, temperatura, density, presyon, mga pagpapaandar ng estado at panloob na enerhiya na nauugnay sa bagay..
Mga equation ng paggalaw
Ito ang pahayag sa matematika na nagpapaliwanag ng temporal na pag-unlad ng isang variable o pangkat ng mga variable na tumutukoy sa pisikal na estado ng system, kasama ang iba pang mga pisikal na sukat na nagtataguyod ng pagbabago ng system. Ang equation na ito sa loob ng mga dinamika ng materyal na punto, ay tumutukoy sa hinaharap na posisyon ng isang bagay batay sa iba pang mga variable, tulad ng masa, bilis o anumang iba pang maaaring makaapekto sa paggalaw nito.
Ang unang halimbawa ng isang equation ng paggalaw sa loob ng pisika ay sa pamamagitan ng pangalawang batas ni Newton para sa mga sistemang pisikal na binubuo ng mga particle at point material.
Mga equation na Constitutive
Ito ay walang iba kundi ang isang ugnayan sa pagitan ng mga variable na mekanikal o thermodynamic na mayroon sa isang pisikal na sistema, iyon ay, kung saan mayroong pag-igting, presyon, pagpapapangit, dami, temperatura, entropy, density, atbp. Ang lahat ng mga sangkap ay may isang napaka-tukoy na konstitusyong matematika na ugnayan, na batay sa panloob na samahan ng molekula.
Paglutas ng equation
Upang malutas ang mga equation, ganap na kinakailangan upang hanapin ang kanilang domain ng solusyon, iyon ay, ang hanay o pangkat ng mga halaga ng hindi alam kung saan natupad ang kanilang pagkakapantay-pantay. Ang paggamit ng isang equation calculator ay maaaring gamitin sapagkat ang mga problemang ito ay karaniwang ipinapakita sa isa o higit pang mga ehersisyo.
Mahalaga ring banggitin na hindi lahat ng mga pagsasanay na ito ay may solusyon, dahil malamang na walang halaga sa hindi alam na nagpapatunay sa pagkakapantay-pantay na nakuha. Sa ganitong uri ng kaso, ang mga solusyon sa ehersisyo ay walang laman at ito ay ipinahayag bilang isang hindi malulutas na equation.
Mga halimbawa ng mga equation
- Kilusan: sa anong bilis dapat maglakbay ang isang car car upang maglakbay ng 50km sa isang kapat ng isang oras? Dahil ang distansya ay ipinapahiwatig sa mga kilometro, ang oras ay dapat na nakasulat sa mga yunit ng oras upang magkaroon ng bilis sa km / h. Ang pagkakaroon ng malinaw na, kung gayon ang oras na tumatagal ng paggalaw ay:
Ang distansya ng paglalakbay ng kotse ay:
Nangangahulugan ito na ang bilis nito ay dapat na:
Ang pormula ay:
Samakatuwid, dapat nating iwanan ang "n", at makukuha natin ang:
Pagkatapos ang data ay pinalitan:
At ang dami ng bilang ng mga moles ay 13.64 moles.
Ngayon ang masa ay dapat kalkulahin. Dahil ito ay hydrogen gas, ang sanggunian ay dapat gawin sa atomic weight o molar mass, na isang diatomic Molekyul, na binubuo ng dalawang hydrogen atoms.
Ang bigat na molekular nito ay 2 g / mol (dahil sa diatomic na katangian nito), pagkatapos makuha ito:
Iyon ay, isang masa na 27.28 gramo ang nakuha.
- Constitutive: mayroong 3 mga bar na nakakabit sa isang matibay na sinag. Ang data ay: P = 15,000 lbf, a = 5ft, b = 5ft, c = 8ft (1ft = 12 pulgada).
Ang solusyon ay ipinapalagay na mayroong maliit na pagpapapangit at ang tornilyo ay ganap na mahigpit, kaya't kapag inilalapat ang puwersa P ang beam AB ay umiikot nang mahigpit ayon sa punto B.
